Кручение прямого бруса круглого поперечного сечения


Кручение прямого круглого бруса. — Студопедия

Лекция. Кручение. Кручение бруса некруглого сечения.

Деформация кручения вызывается парами сил, плоскости действия которых перпендикулярны к оси стержня. Поэтому при кручении в произвольном поперечном сечении стержня из шести внутренних силовых факторов возникает только один – крутящий момент . Как показывают опыты, поперечные сечения при кручении поворачиваются одно относительно другого вокруг оси стержня, при этом длина не меняется.

Стержни, работающие на кручение, обычно называют валами.

Рассматривая кручение вала, легко установить, что под действием скручивающего момента любое сечение на расстоянии от заделки поворачивается относительно закрепленного сечения на некоторый угол - угол закручивания (Рис. 5.1). При этом чем больше скручивающий момент , тем больше и угол закручивания. Зависимости , называемые диаграммами кручения, полученные для образца из пластичного материала, до некоторой степени подобны диаграммам растяжения (Рис. 5.2). В дальнейшем при выводе формул для напряжений и угла закручивания нас будет интересовать участок диаграммы кручения, соответствующий работе материала в пределах пропорциональности.

Рис. 5.1 Рис. 5.2

Рассмотрим геометрическую картину деформации вала при кручении.

Если до деформации на поверхность вала нанести сетку, состоящую из линий, параллельных оси, и линий, представляющие собой параллельные круги, то после закручивания вала скручивающим моментом можно заметить следующее: образующие цилиндра превращаются в винтовые линии, параллельные круги не искривляются и расстояние между ними остается неизменным, радиусы, проведенные в торцевых сечениях остаются прямыми (Рис. 5.3). Полагая, что картина, наблюдаемая на поверхности вала, сохраняется и внутри, сформулируем гипотезы, взятые в основу теории кручения круглых стержней:


1. Поперечные сечения, плоские и нормальные к оси вала до деформации, остаются плоскими и нормальными к той же оси и после деформации.

Рис. 5.3 2. Прямолинейная ось вала остается прямолинейной и после деформации, а все поперечные сечения поворачиваются вокруг этой оси по отношению друг к другу на какой то угол . 3. Радиусы поперечных сечений при деформации не искривляются. 4. Расстояния между сечениями вала в процессе деформации не изменяются, следовательно, и вся длина вала остается прежней.

На основании принятых гипотез кручение круглого вала можно представить как результат сдвигов, вызванных взаимным поворотом поперечных сечений относительно друг друга. Вследствие этого в поперечных сечениях возникают только касательные напряжения, а нормальные напряжения равны нулю.


Выделим из закручиваемого вала диск радиуса на расстоянии от закрепленного конца, ограниченный двумя смежными сечениями и , находящимися друг от друга на расстоянии (Рис. 5.1) и рассмотрим его отдельно (Рис. 5.4)

Проведем от точки прямую , параллельную и соединим центр сечения с точкой . Тогда угол , равный , будет углом поворота сечения относительно сечения . У элемента до поворота сечения относительно сечения верхняя и нижняя стороны были расположены горизонтально. После поворота стороны наклонились и приняли положение и . Следовательно, элемент претерпел абсолютный сдвиг, равный длине дуги:

Относительный сдвиг будет равен:

Отношение представляет относительный угол закручивания (угол закручивания на единицу длины бруса). Тогда

(5.1)

Из этой формулы видно, что относительный сдвиг пропорционален радиусу закручиваемого цилиндрического тела.

На основании закона Гука для сдвига

(5.2)

Можно определить касательное напряжение для элементов лежащих на поверхности вала

(5.3)

Учитывая предположение, что деформация элементов на поверхности вала подобна деформации элементов внутри вала, для произвольного элемента, находящегося на расстоянии от центра поперечного сечения (рис 5.5)

(5.6)

Сумма таких элементарных моментов, распределенных по всему поперечному сечению , при равновесии, наступающем после деформации, должна быть равна крутящему моменту:

(5.7)

Вынесем постоянные за знак интеграла, получим

(5.8)

Интеграл является полярным моментом инерции (лекция 2, выражение (2.9)). Тогда

(5.9)

Откуда относительный угол закручивания

(5.10)

Подставляя в выражение (5.5) выражение относительного угла закручивания получим

(5.11)

Это уравнение показывает, что напряжения в площадках сечения прямо пропорциональны их расстояниям до центра сечения.

При расчете на прочность при кручении необходимо знать максимальные напряжения для сравнения их с допускаемыми напряжениями. Очевидно, что максимальные напряжения при кручении круглого вала будут иметь точки максимально удаленные от оси вала. Т. е. точки с полярной координатой, равной радиусу сечения вала

Отношение полярного момента инерции к наибольшему радиусу сечения называется полярным моментом сопротивления

(5.12)

Тогда условие прочности при кручении будет иметь следующий вид

(5.13)

Для сплошного круглого сечения

(5.14)

(5.15)

Помимо расчета на прочность валы рассчитывают и на жесткость, ограничивая относительный угол закручивания некоторой допускаемой величиной :

(5.16)

Механика материалов: кручение »Механика тонких конструкций

Деформация кручения

Крутящий момент - это момент, который крутит структуру. В отличие от осевых нагрузок, которые создают равномерное или среднее напряжение в поперечном сечении объекта, крутящий момент создает распределение напряжения в поперечном сечении. Для простоты мы собираемся сосредоточиться на конструкциях с круглым поперечным сечением, которые часто называют стержнями или валами.Когда к конструкции приложен крутящий момент, он будет крутиться вдоль длинной оси стержня, а его поперечное сечение остается круглым.

Чтобы представить, о чем я говорю, представьте, что поперечное сечение стержня - это часы с часовой стрелкой. Когда крутящий момент не применяется, часовая стрелка сидит в 12 часов. При приложении к стержню крутящего момента он будет крутиться, и часовая стрелка будет вращаться по часовой стрелке в новое положение (скажем, на 2 часа). Угол между 2 часами и 12 часами называется углом поворота и обычно обозначается греческим символом фи .Этот угол позволяет определить деформацию сдвига в любой точке поперечного сечения.

Прежде чем мы углубимся в детали этого уравнения, важно отметить, что, поскольку мы обсуждаем только круглых сечений , мы перешли от декартовых координат к цилиндрическим координатам. Отсюда и произошел греческий символ rho - он обозначает расстояние по сечению, где rho = 0 в центре и rho = c на внешнем крае стержня.

Мы можем сразу узнать несколько вещей из этого уравнения. Первое, что может быть очевидно: чем больше угол закручивания, тем больше деформация сдвига (обозначается греческим символом , гамма , как и раньше). Во-вторых, и в этом большая разница между конструкциями с осевой нагрузкой и конструкциями с нагрузкой крутящим моментом, деформация сдвига неодинакова вдоль поперечного сечения. Он равен нулю в центре витого стержня и имеет максимальное значение на краю стержня. Наконец, чем длиннее стержень, тем меньше напряжение сдвига.

До сих пор мы концентрировали наше внимание на смещении и напряжении. Чтобы обсудить напряжение внутри скрученного стержня, нам нужно знать, как крутящего момента и напряжения связаны между собой. Поскольку скручивание приводит к деформации сдвига, мы ожидаем, что крутящий момент применит напряжение сдвига . Взаимосвязь между крутящим моментом и напряжением сдвига подробно описана в разделе 5.2 вашего учебника, и в результате получается следующее соотношение:

В этом уравнении J обозначает второй полярный момент площади поперечного сечения.Это иногда называют «вторым моментом инерции», но поскольку это уже имеет устоявшееся значение в отношении динамического движения объектов, давайте не будем путать вещи здесь. Мы обсудим моменты площади более подробно позже, но они принимают очень простую форму для круглых сечений:

(Примечание: оба являются одним и тем же уравнением - сплошные стержни имеют внутренний радиус c i = 0).

Теперь у нас есть уравнения для нашего напряжения сдвига и нашего напряжения сдвига, и все, что осталось сделать, это использовать закон Гука в сдвиге, чтобы увидеть, как они связаны.Закон Гука позволяет нам записать хорошее уравнение для угла закручивания - очень удобно измерять в лаборатории или в полевых условиях.

И так же, как мы видели для осевых смещений , мы можем использовать суперпозицию для наших сдвиговых деформаций :

Это последнее уравнение позволяет нам разделить крутящие моменты, приложенные к различным частям одной и той же конструкции. Давайте решим проблему и посмотрим, поймем ли мы, что происходит при деформациях кручения.

Силовая передача

Одним из наиболее распространенных примеров кручения в инженерном проектировании является мощность, создаваемая трансмиссионными валами. Мы можем быстро понять, как твист генерирует энергию, просто выполнив простой анализ измерений. Мощность измеряется в единицах Ватт [Вт] , а 1 Вт = 1 Нм с -1 . В начале этого раздела мы отметили, что крутящий момент представлял собой крутящую пару, что означает, что он имеет единицы силы, умноженные на расстояние, или [Нм].Итак, при проверке, чтобы генерировать мощность с крутящим моментом, нам нужно что-то, что происходит с заданной частотой - , так как частота имеет единицы измерения в герцах [Гц] или [с -1 ]. Таким образом, мощность на оборот (2 * пи) круглого стержня равна приложенному крутящему моменту, умноженному на частоту вращения, или:

В правой части уравнения мы использовали соотношение, согласно которому угловая скорость, обозначаемая греческой буквой , омега , равна частоте в 2pi.

Статически неопределенные проблемы

Одно уравнение, два неизвестных ... мы шли по этому пути, прежде чем нужно что-то еще. Хотя тип нагрузки и деформация различны, статически неопределим, проблемы, связанные с кручением стержней, решаются точно так же, как и для конструкций с осевой нагрузкой. Начнем со свободной диаграммы тела витой штанги. Взять, к примеру, стержень на рисунке ниже, застрявший между двумя стенками.

Сразу после осмотра вы должны заметить, что стержень приклеен к двум стенкам, когда для статического равновесия необходима только одна. Больше опор, чем необходимо: статически неопределимо . И статически неопределенные средства, нарисуйте диаграмму свободного тела, суммируйте силы в направлении x-, и вы получите одно уравнение с двумя неизвестными силами реакции. Итак, нам нужно рассмотреть наши деформации - для кручения, это означает, что давайте обратимся к нашему уравнению, которое описывает суперпозицию углов закручивания.Для этого уравнения мы должны отметить, что половина стержня является сплошной, а другая половина - полой, что влияет на то, как мы рассчитываем J для каждой половины. Самое главное, мы должны спросить себя: «Что мы знаем о деформации?» Что ж, поскольку стержень приклеен к стене на краю, скручивание в A и B должно быть равно нулю (так же, как смещение в последнем разделе). Посмотрите, сможете ли вы решить остальную часть этой проблемы самостоятельно: каков крутящий момент в каждой половине стержня?

(Ответ: Т а = 51.7 фунтов футов и T ( = 38,3 фунтов футов).

Резюме

В этом уроке мы узнали о крутящего момента и кручения . Этот другой тип нагрузки создает неравномерного распределения напряжений по поперечному сечению стержня - от нуля в центре до его наибольшего значения на краю. Из этого анализа мы можем разработать отношения между углом закручивания в любой точке вдоль стержня и деформацией сдвига внутри всего стержня.Используя закон Гука, мы можем связать с этим деформацией с напряжением внутри стержня. Мы также использовали метод размерного анализа для определения мощности, генерируемой трансмиссионным валом (то есть штоком), который вращается с заданной частотой при приложенном крутящем моменте. Наконец, мы показали, что проблемы кручения также часто статически неопределимы , и хотя нагрузка и деформация различны, методика, которую мы установили в последнем разделе для решения проблем с осевой нагрузкой, является той же техникой для решения проблем с нагрузкой крутящим моментом.

Этот материал основан на работе, поддержанной Национальным научным фондом в рамках гранта № 1454153. Любые мнения, выводы и выводы или рекомендации, выраженные в этом материале, принадлежат автору (авторам) и не обязательно отражают точку зрения Национального Научный фонд.

,

Кручение валов

Напряжение сдвига в валу

Когда вал подвергается крутящему моменту или скручиванию, в валу возникает напряжение сдвига. Напряжение сдвига изменяется от нуля на оси до максимума на внешней поверхности вала.

Напряжение сдвига в сплошном круглом валу в заданном положении может быть выражено как:

τ = T r / J (1)

, где

τ = напряжение сдвига (Па, фунт f / фут 2 (psf))

T = крутящий момент (Нм, фунт f фут)

r = расстояние от центра до напряженной поверхности в заданном положении (м, футы)

J = полярный момент инерции зоны (м 4 , фут 4 )

Примечание

  • «Полярный момент инерции
    » является мерой способность вала противостоять кручению.«Полярный момент по инерции » определяется относительно оси, перпендикулярной рассматриваемой области. Он аналогичен «Моменту инерции области» - который характеризует способность балки противостоять изгибу - требуется для прогнозирования прогиба и напряжения в балке.
  • 1 фут = 12 в
  • 1 фут 4 = 20736 в 4
  • 1 фунт / кв.дюйм (фунт ф / фут 2 ) = 144 фунта / кв.дюйм (фунт ф / дюйм 2 )

« Полярный момент инерции области » также называется « Полярный момент инерции », « Второй момент зоны », « Площадь Момент инерции », « Полярный Момент Области "или" Второй Момент Области ".

Полярный момент инерции в зависимости от площади Момент инерции
  • «Полярный момент инерции» - мера способности луча противостоять скручиванию - которая требуется для расчета скручивания луча, подвергнутого крутящему моменту
  • «Момент площади инерции "- свойство формы, которое используется для прогнозирования прогиба, изгиба и напряжения в балках

Круговой вал и максимальный момент или крутящий момент

Максимальный момент в круговом валу может быть выражен как:

T макс. = τ макс. J / R (2)

, где

T макс. = максимальный крутящий момент (Нм, фунт f фут)

τ макс. = максимальное напряжение сдвига (Па, фунтов f / фут 2 )

R = радиус вала (м, футы)

9 0006 Объединение (2) и (3) для цельного вала

T макс. = (π / 16) τ макс. D 3 (2b)

Объединение ( 2) и (3b) для полого вала

T макс. = (π / 16) т макс. (D 4 - d 4 ) / D (2c)

Круговой вал и полярный момент инерции

Полярный момент инерции кругового сплошного вала можно выразить как

J = π R 4 /2

= π (D / 2 ) 4 /2

= π D 4 /32 (3)

, где

D = наружный диаметр вала (м, дюйм)

Полярный момент ине Величина круглого полого вала может быть выражена как

J = π (D 4 - d 4 ) / 32 (3b)

, где

d = внутренний диаметр вала (м, фут)

Диаметр сплошного вала

Диаметр сплошного вала можно рассчитать по формуле

D = 1.72 ( T max / τ max ) 1/3 (4)

Торсионное отклонение вала

Угловое отклонение торсионного вала может быть выражено как

α = LT / (J G) (5)

, где

α = угловое отклонение вала (радианы)

L = длина вала (м , футы)

G = модуль жесткости сдвига - или модуль жесткости (Па, psf)

Угловое отклонение торсионного вала может быть выражено как

α = 32 LT / (G π D 4 ) (5a)

Угловое отклонение торсионного полого вала можно выразить как

9000 6 α = 32 LT / (G π (D 4 - d 4 )) (5b)

Угол в градусах можно получить, умножив угол θ в радианах на 180 / π.

S с опорным валом ( π заменено)

α градусов ≈ 584 LT / (GD 4 ) (6a)

полый вал ( π заменено)

α градусов ≈ 584 LT / (G (D 4 - d 4 ) (6b)

Торсионно-стойкие моменты от валов различных поперечных сечений

Пример

- касательное напряжение и Угловое отклонение в сплошном цилиндре

Момент 1000 Нм действует на вал сплошного цилиндра диаметром 50 мм (0.05 м) и длина 1 м . Вал выполнен из стали с модулем жесткости 79 ГПа (79 10 9 Па) .

Максимальное напряжение сдвига можно рассчитать как

τ макс. = T r / J

= T (D / 2) / ( π D 4 /32)

= (1000 Нм) ((0,05 м) / 2) / ( π (0,05 м) 4 /32)

= 40764331 Па

= 40.8 МПа

Угловое отклонение вала можно рассчитать как

θ = LT / (J G)

= LT / ( ( π D 4 /32) G)

= (1 м) (1000 Нм) / ( ( π (0,05 м) 4 /32) (79 10 9 Па))

= 0,021 ( радианы)

= 1,2 o

Пример - напряжение сдвига и угловое отклонение в пустотелом цилиндре

Момент 1000 Нм действует на полый вал цилиндра с внешним диаметром 50 мм (0 ,05 м) , внутренний диаметр 30 мм (0,03 м) и длина 1 м . Вал выполнен из стали с модулем жесткости 79 ГПа (79 10 9 Па) .

Максимальное напряжение сдвига можно рассчитать как

τ макс = T r / J

= T (D / 2) / ( π (D 4 - d 4 ) / 32)

= (1000 Нм) ((0,05 м) / 2) / ( π ((0.05 м) 4 - (0,03 м) 4 ) / 32)

= 46,8 МПа

Угловое отклонение вала можно рассчитать как

θ = LT / (J G)

= LT / (( π D 4 /32) G)

= (1 м) (1000 Нм) / ( ( ) № ((0,05 м) 4 - (0.03 м) 4 ) /32) (79 10 9 Па))

= 0,023 радиан)

= 1,4 o

Пример - требуемый диаметр вала для передачи мощности

Электродвигатель 15 кВт должен использоваться для передачи мощности через соединенный сплошной вал. Двигатель и вал вращаются с , 2000 об / мин - . Максимально допустимое напряжение сдвига - т, , макс. , - в валу составляет 100 МПа, .

Связь между мощностью и крутящим моментом может быть выражена

P = 0,105 n об / мин T (7)

где

P = мощность (Вт)

n об / мин = частота вращения вала (об / мин)

Переупорядочено и со значениями - крутящий момент можно рассчитать

T = (15 10 3 Вт) / (0,105 (2000 об / мин) )

= 71 Нм

Минимальный диаметр вала можно рассчитать по формуле4

D = 1,72 ((71 Нм) / (100 10 6 Па)) 1/3

= 0,0153 м

= 15,3 мм

.
Торсион T T Торсионная деформация круглого вала

Презентация на тему: "Кручение T T Крутильная деформация круглого вала" - Стенограмма презентации:

1 Кручение T T Крутильная деформация круглого вала
Крутящий момент - это тип момента, который стремится повернуть элемент вокруг его продольной оси.Инженеры должны понимать влияние крутящего момента, чтобы правильно проектировать оси или приводные валы, используемые в транспортных средствах и механизмах. Крутящий момент вызывает сдвиговые напряжения в валах. T T до деформации после деформации

2 Крутящий момент, приложенный к валу, закрепленному на одном конце

3 Деформация и деформация сдвига
элемента, расположенного на радиальном расстоянии ρ от оси вала.

4 Усилие сдвига увеличивается линейно с

5 Напряжение сдвига - Диаграмма деформации


6 Линейное изменение напряжения сдвига
Для линейно-упругих валов, подверженных сдвиговым деформациям, применяется закон Гука: линейное изменение напряжения сдвига соответствует линейному изменению напряжения сдвига:

8 Благодаря дополнительному свойству сдвига, не только внутренний крутящий момент
T развивает линейное распределение напряжения сдвига вдоль каждой радиальной линии в плоскости площади поперечного сечения, но также развивается связанное распределение напряжения сдвига вдоль осевая плоскость.


Смотрите также

Проектирование
БЕСПЛАТНО-
при заказе сруба!

Оставить
заявку

Каталог
ПСК АЗАМАТ