Напряжения возникающие в брусе при различных видах деформаций


5.3. Напряжения в брусе при чистом изгибе

Рассмотрим наиболее простой из изгибов — чистый. В этом случае изгибающий момент по длине балки остается постоянным, а перерезывающая сила равна нулю. Так в средней части балки, показано на рис. 5.2, возникает изгиб.

Рис. 5.2

Изучим закон распределения напряжений в поперечном сечении бруса при чистом изгибе.

Будем полагать, что поперечное сечение имеет хотя бы одну ось симметрии и нагрузки приложены в плоскости, проходящей через нее.

Если на боковую поверхность бруса, находящегося в условиях чистого изгиба, нанести ортогональную сетку (рис. 5.3), то линии перпендикулярные к оси бруса переместятся в плоскости, но останутся прямыми.

Рис. 5.3

Можно предполагать, что и поперечные сечения плоские до деформации останутся плоскими и после деформации, т.е. справедлива гипотеза плоских сечений Бернулли.

Образование деформаций при чистом изгибе может рассматриваться как результат поворота плоских поперечных сечений друг относительно друга (рис. 5.3). Рассмотрим два смежных сечения, отстоящих один от другого на расстоянии (рис. 5.4).

Рис. 5.4

Примем левое сечение условно за неподвижное. Тогда в результате поворота правого сечения на угол верхние слои удлинятся, а нижние — укоротятся. Очевидно, существует слой, в котором удлинения отсутствуют. Назовем его нейтральным слоем. Отметим его отрезком. В результате поворота сечений изменение кривизны нейтрального слоя будет следующим:

.

Произвольно взятый отрезок (рис. 5.4) получим приращение длины. Так как сечения остаются плоскими,

,

где — расстояние от рассматриваемого отрезкадо нейтрального слоя. Положение этого слоя пока неизвестно.

Относительное удлинение слоя равно

. (5.4)

Если предположить, что продольные волокна бруса не давят друг на друга, то каждое из них находится в условиях простого растяжения или сжатия.

В этом случае справедлив закон Гука

.

Подставляя из предыдущей формулы, имеем

. (5.5)

Таким образом, при чистом изгибе напряжения меняются в поперечном сечении по линейному закону.

Геометрическое место точек в сечении удовлетворяющее условию , называется нейтральной линией сечения. Нейтральная линия очевидно перпендикулярна к плоскости кривизны изогнутого бруса.

Свяжем теперь напряжения с внутренними силовыми факторами, возникающими при чистом изгибе.

Рис. 5.5

Сумма элементарных сил (рис.5.5) дает нормальную силув сечении. Но при чистом изгибе, поэтомуили после подстановкиимеем. Откуда— статический момент площади относительно нейтральной оси. Так как статический момент площади равен нулю, то нейтральная линия проходит через центр тяжести сечения.

Теперь система координат может быть конкретизирована. Начало координат поместим в центр тяжести сечения. Осьнаправим по нормали к сечению. Осьпо нейтральной линии. Осьбудет лежать в плоскости изменения кривизны.

Пока мы рассматривали плоский изгиб, когда плоскость момента и кривизны совпадают.

При указанном случае момент элементарных сил относительно осиравен нулю, а относительно осиполному изгибающему моменту.

(5.6)

Второе выражение приводится к виду . Оно равно нулю в том случае, если плоскость изгибающего момента проходит через одну из главных осей. Такой изгиб называется плоским (прямым).

Из выражения (5.6) получаем зависимость кривизны бруса от изгибающего момента:

(5.7)

Возвращаясь к формуле (5.5) и, исключая из нее кривизну , получаем выражение для напряжения:

(5.8)

Максимальные напряжения при изгибе возникают в точках наиболее удаленных от нейтральной линии (рис. 5.6).

Рис. 5.6

; отношение называется моментом сопротивления сечения. Таким образом,

(5.9)

Используя последнее выражение можно записать условие прочности при изгибе

5.10)

Моменты сопротивления простейших сечений:

— для прямоугольного сечения со сторонами и

— для круглого сечения

Таким образом, напряжения при изгибе обратно пропорциональны третьей степени линейных размеров сечения.

Наиболее экономичными являются сечения, для которых с наименьшей затратой материала получается наибольшая величина момента сопротивления .

Для рационально работающей на изгиб балки необходимо, по возможности, распределить площадь подальше от нейтральной оси. Так возникли стандартные двутавровые и швеллерные тонкостенные профили, показанные на ри.5.7.

Рис. 5.7

A Подход обобщенной теории пучков

В данной статье представлены как статический, так и динамический анализ геометрически линейных или нелинейных, упругих или упругопластических неоднородных задач кручения стержней постоянного или переменного произвольного сечения, а также соответствующие исследования и выводы. взяты из рассмотренных дел с большим практическим интересом. В представленном анализе стержень подвергается произвольно распределенным или концентрированным крутящим и деформирующим моментам по всей его длине, в то время как его края поддерживаются наиболее общими торсионными граничными условиями.Для динамических задач используется система распределенных массовых моделей с учетом деформации деформации. Анализ вышеупомянутых проблем завершается представлением оценки постоянных кручения и перекоса стержня, его поля смещения, его результирующих напряжений вместе с касательными напряжениями скручивания и нормальными и сдвиговыми напряжениями перекоса в любой внутренней точке стержня. Кроме того, построение матрицы жесткости и соответствующего вектора узловой нагрузки стержня произвольного поперечного сечения с учетом эффектов перекоса представлены для разработки элемента балки для статического и динамического анализа.Принимая во внимание недостатки решений 3D FEM, важность представленного подобного лучу анализа становится более очевидной.

1. Введение

В инженерной практике мы часто сталкиваемся с анализом элементов конструкций, подверженных крутящим моментам. Наиболее распространенными примерами являются изогнутые перемычки, ребристые пластины, подвергаемые эксцентрической нагрузке, или нерегулярно расположенные внутри пластины пластины из-за функциональных требований.

Когда деформация поперечного сечения элемента не ограничена, прикладывается крутящий момент из-за сдвиговых напряжений Сен-Венана [1].В этом случае угол закручивания на единицу длины остается постоянным вдоль стержня. Однако в большинстве случаев произвольные торсионные граничные условия применяются либо по краям, либо в любой другой внутренней точке стержня из-за требований к конструкции. Этот стержень под действием общей скручивающей нагрузки приводит к неравномерному кручению, при этом угол закручивания на единицу длины больше не является постоянным вдоль него. Последствия ограниченного деформирования впервые были представлены Маргером [2].

Хотя существует расширенная литература по проблеме равномерного кручения Сен-Венана для однородных изотропных цилиндрических стержней с просто или многократно соединенными поперечными сечениями [3–8], широкое использование конструктивных элементов, подвергающихся скручивающей нагрузке, требует надежного, точного и общий анализ проблемы кручения стержней произвольного сечения, избегая ограничений теории кручения Сен-Венана.

В остальной части этой статьи представлены как статический, так и динамический анализ геометрически линейных или нелинейных, упругих или упругопластических неоднородных задач кручения стержней постоянного или переменного произвольного поперечного сечения вместе с соответствующими исследованиями и выводами, сделанными из рассмотрел дела с большим практическим интересом.

2. Линейное упругое неравномерное кручение стержней

В последние десятилетия была проделана значительная работа по упругой линейной задаче неравномерного кручения стержней.Тем более из-за математической сложности задачи, существующей аналитической

.
Растяжение и сжатие, Определение нормальной силы, Нормальные напряжения и деформации

Растяжение и сжатие

Определение нормальной силы

Центральное растяжение (сжатие) является одним из простейших видов нагрузки. Метод сечений в поперечном сечении балки выявляет только один фактор внутренней силы - нормальную силу. Его вектор перпендикулярен поперечному сечению и направлен вдоль продольной оси балки. Растягивающую балку обычно называют стержнем .

Согласно методу поперечного сечения, величина и направление продольной силы определяются из уравнения равновесия, составленного для отрезанной части стержня:

(2,9)

Таким образом, продольная (нормальная) сила σ произвольного поперечного сечения стержня численно равна алгебраической подвеске снаряда на продольной оси всех внешних (активных и реактивных) сил, приложенных к отрезанной части.

В общем случае

(2.10)

где - интенсивность нагрузки, распределенной по оси луча от 0 до.

Продольная сила считается положительной, если она вызывает натяжение, т.е. е. направлен от поперечного сечения. В поперечном сечении балки он является результатом внутренних нормальных сил, возникающих в этом разделе.

График функции называется , нормальная диаграмма сил . Из (2.10) следует, что

(2.11)

т.е. Интенсивность распределенной нагрузки в каждом участке равна по величине и знаку касательной к углу наклона касательной к диаграмме в соответствующем разделе диаграммы.

Нормальные напряжения и деформации

При растяжении (сжатии) балки в поперечных сечениях возникают только нормальные напряжения. Для того чтобы задача, известная по известному N A , имела единственное решение, необходимо установить закон распределения σ ( x ) по сечению.Для этого используется гипотеза о плоских сечениях (гипотеза Бернулли) : сечений стержня, плоских и перпендикулярных к своей оси до деформации, остаются плоскими и перпендикулярными к своей оси и находятся под деформацией. Сечения движутся только вдоль оси, оставаясь параллельными друг другу.

Предположим, что балка состоит из бесконечно большого количества продольных волокон. Из гипотезы Бернулли следует, что все волокна деформированы одинаково. Поскольку согласно закону Гука одинаковые напряжения соответствуют одинаковым деформациям, то при растяжении (сжатии) балки нормальные напряжения равномерно распределяются по сечению, то есть;

Как вы знаете,.С тех пор . Отсюда

(2.12)

Позиции - это направления, соответствующие растяжению.

На участках балки, прилегающих к месту приложения внешних сил и к креплениям, распределение напряжений зависит от

Рис. 2.7

от того, как нагрузка применяется и может быть неровной. Поэтому гипотеза о плоских сечениях в этих местах неверна.

Рассмотрим однородное напряженное состояние стержня, когда напряжения не меняются по длине (Рисунок 2.7).

Изменение линейных размеров называется абсолютное удлинение ; отношение - относительное удлинение или линейная деформация .

В случае неоднородного напряженного состояния линейная деформация определяется выражением, где есть приращение сегмента.

Между линейными деформациями и их напряжениями существует связь из-за упругих свойств материала. Это соотношение определяется законом Гука:

(2.13)

, где E - - модуль упругости материала.

Рассмотрим выражение. Согласно формуле (2.13) получаем; потому что

Отсюда и изменение длины всего луча

(2,14)

Изделие AT называется жесткостью стержня при растяжении (сжатии).

Если законы вариации N и A различны для отдельных участков стержня, то

(2.15)

где - количество сайтов.

В частном случае, когда N и A постоянны по длине стержня, мы получаем формулу Гука в виде

(2,16)

Итак, перемещение i - -го участка с координатой x относительно неподвижного участка

(2,17)

Точно так же вы можете написать

(2,18)

где - перемещение начального участка относительно уплотнения.

Пусть поперечное сечение балки (см. Рис. 2.7) имеет форму прямоугольника со сторонами , и b, , тогда периметр балки уменьшается. Значение характеризует относительное изменение периметра поперечного сечения и называется поперечной деформации . Если секция круглая, то. Отношение поперечной деформации к линейному значению является постоянным для данного материала и называется коэффициентом Пуассона :

(2.19)

Для стали и большинства металлических материалов. В общем случае.

,
Механика материалов: кручение »Механика тонких конструкций

Деформация кручения

Крутящий момент - это момент, который крутит структуру. В отличие от осевых нагрузок, которые создают равномерное или среднее напряжение в поперечном сечении объекта, крутящий момент создает распределение напряжения в поперечном сечении. Для простоты мы собираемся сосредоточиться на конструкциях с круглым поперечным сечением, которые часто называют стержнями или валами.Когда к конструкции приложен крутящий момент, он будет крутиться вдоль длинной оси стержня, а его поперечное сечение остается круглым.

Чтобы представить, о чем я говорю, представьте, что поперечное сечение стержня - это часы с часовой стрелкой. Когда крутящий момент не применяется, часовая стрелка сидит в 12 часов. При приложении к стержню крутящего момента он будет крутиться, и часовая стрелка будет вращаться по часовой стрелке в новое положение (скажем, на 2 часа). Угол между 2 часами и 12 часами называется углом поворота и обычно обозначается греческим символом фи .Этот угол позволяет определить деформацию сдвига в любой точке поперечного сечения.

Прежде чем мы углубимся в детали этого уравнения, важно отметить, что, поскольку мы обсуждаем только круглых сечений , мы перешли от декартовых координат к цилиндрическим координатам. Отсюда и произошел греческий символ rho - он обозначает расстояние по сечению, где rho = 0 в центре и rho = c на внешнем крае стержня.

Мы можем сразу узнать несколько вещей из этого уравнения. Первое, что может быть очевидно: чем больше угол закручивания, тем больше деформация сдвига (обозначается греческим символом , гамма , как и раньше). Во-вторых, и в этом большая разница между конструкциями с осевой нагрузкой и конструкциями с нагрузкой крутящим моментом, деформация сдвига неодинакова вдоль поперечного сечения. Он равен нулю в центре витого стержня и имеет максимальное значение на краю стержня. Наконец, чем длиннее стержень, тем меньше напряжение сдвига.

До сих пор мы концентрировали наше внимание на смещении и напряжении. Чтобы обсудить напряжение внутри скрученного стержня, нам нужно знать, как крутящего момента и напряжения связаны между собой. Поскольку скручивание приводит к деформации сдвига, мы ожидаем, что крутящий момент применит напряжение сдвига . Взаимосвязь между крутящим моментом и напряжением сдвига подробно описана в разделе 5.2 вашего учебника, и в результате получается следующее соотношение:

В этом уравнении J обозначает второй полярный момент площади поперечного сечения.Это иногда называют «вторым моментом инерции», но поскольку это уже имеет устоявшееся значение в отношении динамического движения объектов, давайте не будем путать вещи здесь. Мы обсудим моменты площади более подробно позже, но они принимают очень простую форму для круглых сечений:

(Примечание: оба являются одним и тем же уравнением - сплошные стержни имеют внутренний радиус c i = 0).

Теперь у нас есть уравнения для нашего напряжения сдвига и нашего напряжения сдвига, и все, что осталось сделать, это использовать закон Гука в сдвиге, чтобы увидеть, как они связаны.Закон Гука позволяет нам записать хорошее уравнение для угла закручивания - очень удобно измерять в лаборатории или в полевых условиях.

И так же, как мы видели для осевых смещений , мы можем использовать суперпозицию для наших сдвиговых деформаций :

Это последнее уравнение позволяет нам разделить крутящие моменты, приложенные к различным частям одной и той же конструкции. Давайте решим проблему и посмотрим, поймем ли мы, что происходит при деформациях кручения.

Силовая передача

Одним из наиболее распространенных примеров кручения в инженерном проектировании является мощность, создаваемая трансмиссионными валами. Мы можем быстро понять, как твист генерирует энергию, просто выполнив простой анализ измерений. Мощность измеряется в единицах Ватт [Вт] , а 1 Вт = 1 Нм с -1 . В начале этого раздела мы отметили, что крутящий момент представлял собой крутящую пару, что означает, что он имеет единицы силы, умноженные на расстояние, или [Нм].Итак, при проверке, чтобы генерировать мощность с крутящим моментом, нам нужно что-то, что происходит с заданной частотой - , так как частота имеет единицы измерения в герцах [Гц] или [с -1 ]. Таким образом, мощность на оборот (2 * пи) круглого стержня равна приложенному крутящему моменту, умноженному на частоту вращения, или:

В правой части уравнения мы использовали соотношение, согласно которому угловая скорость, обозначаемая греческой буквой , омега , равна частоте в 2pi.

Статически неопределенные проблемы

Одно уравнение, два неизвестных ... мы шли по этому пути, прежде чем нужно что-то еще. Хотя тип нагрузки и деформация различны, статически неопределим, проблемы, связанные с кручением стержней, решаются точно так же, как и для конструкций с осевой нагрузкой. Начнем со свободной диаграммы тела витой штанги. Взять, к примеру, стержень на рисунке ниже, застрявший между двумя стенками.

Сразу после осмотра вы должны заметить, что стержень приклеен к двум стенкам, когда для статического равновесия необходима только одна. Больше опор, чем необходимо: статически неопределимо . И статически неопределенные средства, нарисуйте диаграмму свободного тела, суммируйте силы в направлении x-, и вы получите одно уравнение с двумя неизвестными силами реакции. Итак, нам нужно рассмотреть наши деформации - для кручения, это означает, что давайте обратимся к нашему уравнению, которое описывает суперпозицию углов закручивания.Для этого уравнения мы должны отметить, что половина стержня является сплошной, а другая половина - полой, что влияет на то, как мы рассчитываем J для каждой половины. Самое главное, мы должны спросить себя: «Что мы знаем о деформации?» Что ж, поскольку стержень приклеен к стене на краю, скручивание в A и B должно быть равно нулю (так же, как смещение в последнем разделе). Посмотрите, сможете ли вы решить остальную часть этой проблемы самостоятельно: каков крутящий момент в каждой половине стержня?

(Ответ: Т а = 51.7 фунтов футов и T ( = 38,3 фунтов футов).

Резюме

В этом уроке мы узнали о крутящего момента и кручения . Этот другой тип нагрузки создает неравномерного распределения напряжений по поперечному сечению стержня - от нуля в центре до его наибольшего значения на краю. Из этого анализа мы можем разработать отношения между углом закручивания в любой точке вдоль стержня и деформацией сдвига внутри всего стержня.Используя закон Гука, мы можем связать с этим деформацией с напряжением внутри стержня. Мы также использовали метод размерного анализа для определения мощности, генерируемой трансмиссионным валом (то есть штоком), который вращается с заданной частотой при приложенном крутящем моменте. Наконец, мы показали, что проблемы кручения также часто статически неопределимы , и хотя нагрузка и деформация различны, методика, которую мы установили в последнем разделе для решения проблем с осевой нагрузкой, является той же техникой для решения проблем с нагрузкой крутящим моментом.

Этот материал основан на работе, поддержанной Национальным научным фондом в рамках гранта № 1454153. Любые мнения, выводы и выводы или рекомендации, выраженные в этом материале, принадлежат автору (авторам) и не обязательно отражают точку зрения Национального Научный фонд.

,

Смотрите также

Проектирование
БЕСПЛАТНО-
при заказе сруба!

Оставить
заявку

Каталог
ПСК АЗАМАТ